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? n!和n^n哪个大

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2024-10-20

最佳答案

当n为正整数时，n!大于n^n。
证明：我们可以使用数学归纳法来证明这个结论。首先，当n=1时，显然有1! > 1^1（即1！大于1的1次方）。现在假设对于所有小于n的正整数k，都有k! > k^k。我们考虑n!和n^n之间的关系。
根据二项式定理，我们有：
n! = n(n-1)(n-2)... * 1 n^n = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 将这两个表达式相减，得到：
n! - n^n = (n-1)(n-2)(n-3)... * 1 - n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 由于我们知道n-1! > (n-1)^(n-1)，所以：
(n-1)(n-2)(n-3)... * 1 > n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 这意味着n! > n^n。因此，当n为正整数时，n!确实大于n^n。

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